Le(s) papier(s) d’origine

L’effet weekend est une des premières anomalies de marché au regard de l’hypothèse d’efficience documentée sur une base calendaire par la littérature aux débuts des années 80. Pour rappel, selon cette hypothèse, il n’est pas possible d’établir une stratégie permettant de battre systématiquement le marché dans la mesure où les rendements des titres sont pleinement aléatoires. Les ajustements de prix n’interviennent que lorsqu’une information nouvelle est diffusée et amène les investisseurs à réviser leurs anticipations concernant les flux financiers futures procurés par la possession du titre. Ces informations nouvelles intervenant de manière aléatoire les rendements le seront également. Il ne doit donc pas y avoir de récurrences dans les rendements qui pourraient être exploitées via des stratégies d’arbitrages.

S’agissant de l’effet weekend, il a été documenté entre autre par Cross (1973); French (1980); Gibbons and Hess (1981); et KEIM and STAMBAUGH (1984)… Il consiste en la présence de rendement en moyenne différents de ceux des autres jours les vendredi et lundi, autrement-dit au début du weekend et à la fin (le premier jours de reprise). Les rendements des lundi sont, en moyenne, moins importants que ceux des autres jours de la semaine (mardi, mercredi, jeudi) et les rendement des vendredi sont, en moyenne, plus importants.

Une des explications avancées au phénomène repose sur la psychologie des investisseurs. Ceux-ci seraient plus optimistes, et donc auraient plus tendance à acheter, à l’approche du weekend, le vendredi, ce qui ferait monter les cours. Ils seraient plus pessimiste, et donc auraient plus tendance à vendre, juste après le weekend, le lundi, ce qui ferait baisser les cours.

Chargeons les packages et les données

Pour tester l’effet weekend, nous mobilisons deux packages : le traditionnel tidyverse, qui permet de simplifier la syntaxe de R et de manipuler les données plus facilement, quantmod qui inclut un wrapper api donnant accès aux données de yahoo finance et gt qui permet de mettre en page des tableaux. Chargeons-les donc dans notre environnement de travail.

library(quantmod)
library(tidyverse)
library(gt)

Notez l’ordre de chargement qui permet d’éviter quelques difficultés par la suite. Certaines fonctions des deux premiers packages portent le même nom. Nous voulons utiliser les versions tydiverse et donc nous l’appelons en dernier de manière à ce qu’elles recouvrent celles de quantmod.

Ceci étant fait chargeons les données nécessaires à notre test. Le choix s’est porté ici sur l’indice Stantdard and Poor 500. Il s’agit d’un indice boursier basé sur les cours de 500 grandes entreprises cotées aux Etats-unis sur le NYSE et sur le NASDAQ. Il a été lancé le 4 mars 1957 mais produit des valeurs rétrospectives jusqu’au 3 janvier 1928. Son code mnémonique est ^GSPC.

Chargeons ces données en utilisant la fonction getSumbols() de quantmod. Indiquons en premier argument le code mnémonique, en second que nous allons chercher l’information sur yahoo finance, en troisième l’endroit où seront placées les informations extraites. Les derniers arguments indiquent les dates de début et de fin de la période d’extraction.

getSymbols("^GSPC",src = "yahoo", env = environment(), from = "1928-01-03",
           to = "2023-05-04")

## [1] "GSPC"

On obtient un objet au format xts, qui est l’un des formats dédiés aux séries temporelles de R. Ici, pour ce que l’on veut faire, il n’est pas nécessaire. Repassons donc à une data frame classique. Ne retenons que les dates (que l’on obtient grâce à la fonction rownames()) et les valeurs ajustées de l’indice.

dat<- GSPC %>% 
  as.data.frame() %>%
  mutate(date_t=as.Date(rownames(.),"%Y-%m-%d")) %>%
  select(date_t,GSPC.Adjusted) %>%
  rename(SP500=GSPC.Adjusted)

Attention, vérifiez bien le codage du format date retenu lors de la transformation afin de bien conserver le vrai ordre chronologique. Le risque d’erreur est ici important.

Ceci fait, calculons le rendement journalier de l’indice. Nous retenons le rendement arithmétique.

\[ ret=\frac{P_i}{P_{i-1}}-1 \]

dat_<-dat %>% 
  mutate(ret=(SP500/lag(SP500)-1)) 

head(dat_)

##                date_t SP500          ret
## 1928-01-03 1928-01-03 17.76           NA
## 1928-01-04 1928-01-04 17.72 -0.002252304
## 1928-01-05 1928-01-05 17.55 -0.009593684
## 1928-01-06 1928-01-06 17.66  0.006267841
## 1928-01-09 1928-01-09 17.50 -0.009060014
## 1928-01-10 1928-01-10 17.37 -0.007428523

Limitons la base à une période plus restreinte pour réaliser notre test. Retenons la période courant du 1er janvier 2015 au 1er janvier 2020.

dat_r<-dat_ %>%
  filter(date_t>as.Date('2015-01-01',"%Y-%m-%d")& 
         date_t<as.Date('2020-01-01',"%Y-%m-%d"))
rm(dat,GSPC)

Sauvegardons les données dans une fichier csv pour pouvoir les réutiliser par la suite pour tester d’autres anomalies.

write.table(dat_r,"S&P500_2015_2020.csv",sep=";", row.names = FALSE)
write.table(dat_,"S&P500_return.csv",sep=";", row.names = FALSE)

Traitement des données

Commençons par marquer les jours autour du weekend : les lundi et vendredi. Pour cela, utilisons la fonction wday() du package lubridate qui est inclus dans le tidyverse. Elle numérote les jours de la semaine en commençant par le dimanche (jour 1). Les lundi et vendredi sont donc respectivement les jours 2 et 6.

dat_r<-dat_r %>%
  mutate(day_of_the_week=wday(date_t),
         day_lab=wday(date_t,label=TRUE),
         jour=ifelse(day_of_the_week==2,"Monday",
                     ifelse(day_of_the_week==6,"Friday","Other")),
         jour_f=factor(jour,levels=c('Monday','Friday','Other')))

Maintenant que les jours sont marqués, calculons les rendements moyennes pour chacun d’eux : lundi, vendredi et les autres jours. Pour cela, utilisons le tidyverse en mobilisant group_by() et summarise(). Exprimons les en pourcentage.

dat_r %>%
  group_by(jour_f) %>%
  summarise(moyenne=round(mean(ret)*100,digits=2))

## # A tibble: 3 × 2
##   jour_f moyenne
##   <fct>    <dbl>
## 1 Monday   -0.01
## 2 Friday    0.03
## 3 Other     0.06

On a bien des rendements moyennes différents sur les jours considérés. Ces rendements moyennes s’articulent en valeur comme ce que prédit l’effet weekend. Les rendements du lundi sont, en moyenne, négatifs et ceux du vendredi, en moyenne, positifs. Les rendements de ces deux jours est par ailleurs différent des rendements des autres jours. Ce pose alors la question de la significativité statistique de ces différences.

Tests statistiques

Il s’agit donc ici de pratiquer des testes de différences de moyennes entre les rendements des lundis et ceux des autres jours (mardi, mercredi, jeudi) et entre les rendements des vendredis et ceux de ces mêmes autres jours. Pour ce faire, il suffit d’utiliser des tests de Student.

Mais au préalable, pour connaître la forme du teste à appliquer, il est nécessaire de savoir si les variances des rendements sont elles-mêmes différentes sur les groupes comparés. Pour cela, nous utiliserons un test de Fisher de comparaison de variances dont la statistique sous H0 (l’égalité des variances) prend la forme suivante:

\[ \frac{\max(S_i^2)}{\min(S_j^2)}\to F_{(df_i;df_j)} \]

Sous H0, le ratio est égal à 1 au hasard de l’échantillonnage prés. Le ratio de la plus grande variance sur la plus petite suit une loi de Fisher à n-1 et m-2 degrés de liberté (n est la taille de l’échantillon permettant de calculer la plus grande variance et m est la taille de l’échantillon permettant de calculer la plus petite variance). Le choix d’un ratio de type max sur min permet d’utiliser un test unilatéral de type “plus grand que”.

Mais avant de pratiquer le test, calculons les variances des rendements, le nombre d’observations et les degrés de liberté pour les différents groupes. L’ensemble est repris dans la table 1.

dat_r %>%
  group_by(jour_f) %>% 
  summarise(moyenne=round(mean(ret)*100,digits=2),
            variance=round(var(ret)*100,digits=5),
            N=n(),
            df=N-1) %>%
  gt() %>% 
  tab_header(title= "Table 1: Eléments du test du différences de variances")

Testons la différence de variance des rendements du lundi et ceux des autres jours (mardi, mercredi, jeudi). Calculons le ratio de variance et la p-value du test. La probabilité de constater une valeur aussi extrême si H0 (égalité de variance - le ratio des variances égal à 1) était vrai. Le résultat est présenté dans la table 2.

Fish<-var(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Monday'])/var(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Other'])

data.frame(Fisher=Fish,
           p_value=pf(Fish,235,768,lower.tail = FALSE)) %>%
  gt() %>%
  fmt_number(decimals=3) %>% 
  tab_header(title= "Table 2: Test de différences de variances")

Si l’on retient un seuil d’erreurs (de type 1) de 5%, avec une p-value de 4,08%, on rejette clairement H0 l’égalité des variances (Monday vs Other). Les rendements des lundis sont plus variables que ceux des Other. Voyons ce qu’il en est concernant les vendredi et les autres jours (mardi, mercredi, jeudi). Répliquons la méthode. Le résultat est présenté dans la table 3.

Fish<-var(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Friday'])/var(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Other'])

data.frame(Fisher=Fish,p_value=pf(Fish,252,768,lower.tail = FALSE)) %>%
  gt() %>%
  fmt_number(decimals=3) %>% 
  tab_header(title= "Table 3: Test de différences de variances")

On rejette également H0 l’hypothèse d’égalité des variances. Les rendement des vendredis sont plus variables que ceux des jour centraux de la semaine (mardi, mercredi, jeudi).

L’ensemble peut être réaliser directement à partir de la fonction var.test(). Voyons cela est créons la table 4 .

dat_r<-dat_r %>%
  mutate(Monday=jour_f=="Monday", Other=jour_f=="Other",
         Friday=jour_f=="Friday")

test_v1<-var.test(ret~Other,alternative = "greater",
                  data=filter(dat_r,jour_f=="Monday"|jour_f=="Other"))

test_v2<-var.test(ret~Other,alternative = "greater",
                  data=filter(dat_r,jour_f=="Friday"|jour_f=="Other"))

rbind(c(stat=test_v1$statistic,p_value=test_v1$p.value),
      c(stat=test_v2$statistic,p_value=test_v2$p.value)) %>%
  data.frame(tests=c("lundi vs autres","vendredi vs autres"),.) %>%
  gt() %>%
  fmt_number(decimals=3) %>% 
  tab_header(title= "Table 4: Tests de différences de variances (ensemble)")

Pour les deux tests, l’hypothèse d’égalité de variance est rejetée. On ne peut donc pas utiliser la version classique du test de Student pour nos comparaisons de rendements moyens. Nous allons utilisé l’approximation de Welsh. On a ainsi:

\[ t=\frac{\bar{r_1}-\bar{r_2}}{s_\bar{\Delta}}\to t_{df} \]

où

\[ s_\bar{\Delta}=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}} \]

et

\[ df=\frac{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2})^2}{ \frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1} } \]

Calculons ces éléments pour le test sur le lundi (table 5).

dif<-mean(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Monday'])-mean(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Other'])
v_l<-var(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Monday'])
v_o<-var(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Other'])
s_delta<-sqrt(v_l/236+v_o/769) 
df<-((v_l/236+v_o/769)^2)/((v_l/236)^2/235+(v_o/769)^2/768)

data.frame(t=dif/s_delta,p_value=pt(dif/s_delta,df)*2) %>% 
  gt() %>%
  fmt_number(decimals=3) %>% 
  tab_header(title= "Table 5: Test de différences de moyennes")

La p-value est ici bien trop grande pour que l’on puisse rejeter H0 (l’hypothèse d’égalité des moyennes). Il n’y a pas de différences statistiquement significatives entre les rendements du lundi est ceux des jours du milieu de la semaine et donc pas d’effet lundi observée sur la période de test.

Voyons ce qu’il en ait pour les vendredis (table 6).

dif<-mean(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Friday'])-mean(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Other'])
v_l<-var(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Friday'])
v_o<-var(dat_r$ret[dat_r$jour_f=='Other']) 
s_delta<-sqrt(v_l/253+v_o/769)
df<-((v_l/253+v_o/769)^2)/((v_l/253)^2/252+(v_o/769)^2/768)

data.frame(t=dif/s_delta,p_value=pt(dif/s_delta,df)*2) %>%
  gt()%>%
  fmt_number(decimals=3) %>% 
  tab_header(title= "Table 6: Test de différences de moyennes")

Comme pour le lundi, il n’y a pas de différence statistiquement significative entre les rendements du vendredi et ceux des jours du milieu de la semaine. Il n’y a donc pas d’effet weekend sur la période de teste.

On peut obtenir ces résultats directement en utilisant la fonction t.test() en laissant ses options par défaut qui sont un test bilatéral et considérant l’inégalité des variances sur les échantillons comparés (table 7).

test_t1<-t.test(ret~jour_f,data=filter(dat_r,jour_f=="Monday"|jour_f=="Other"))

test_t2<-t.test(ret~jour_f,data=filter(dat_r,jour_f=="Friday"|jour_f=="Other"))

rbind(c(stat=test_t1$statistic,p_value=test_t1$p.value),
      c(stat=test_t2$statistic,p_value=test_t2$p.value)) %>%
  data.frame(teste=c("lundi vs autres","vendredi vs autres"),.) %>%
  gt() %>%
  fmt_number(decimals=3) %>% 
  tab_header(title= "Table 7: Tests du différences de moyennes (ensemble)")

Résumons: on peut conclure que les rendements autour du weekend ne sont pas, sur la période étudiée, statistiquement différents de ceux constatés les autres jours de la semaine. Il n’y a pas ici d’effet weekend.

L’anomalie a disparu (au moins sur le S&P 500). Une des explications de cette disparition est que les agents au courant de son existence ont progressivement procédé à des arbitrages amenant à sa disparition.