Le test de changement dans la corrélation entre les séries

Afin d’évaluer la possibilité d’une contagion d’une crise d’un marché à l’autre (au-delà du simple spillover), on peut assez spontanément penser à examiner la corrélation entre les rendements des titres traités sur ces marchés. Un changement significatif de cette corrélation pouvant être interprété comme une marque de contagion.

Cela pourrait être réalisé en utilisant un classique test de différence entre deux coefficients de corrélation tel que proposé par Pearson. Cependant, Forbes and Rigobon (2002) ont montré que cela serait une mauvaise idée du fait de biais impliqués par la présence d’hétéroscédasticité (de changement dans la variance des rendements entre la période pré-crise et la période de crise) contrevenant aux conditions d’utilisation de ce test. Ils proposent alors une solution basée sur un ajustement du coefficient de corrélation mesuré sur la période de crise que nous illustrons ici.

Le test qu’ils proposent se présente comme un classique test d’égalité de deux corrélations: l’une mesurée sur la période pré-crise (avant le 11 mars 2020), indexée \(x\), et l’autre mesurée sur la période de crise, indexée \(y\). On a ainsi le jeu d’hypothèses suivant: \(H0 : \rho_x=\rho_y\) contre \(H_1: \rho_x \neq \rho_y\) .

Ici, nous retenons la configuration bilatérale. Néanmoins, certains travaux envisagent des textes directionnels. Une augmentation de la corrélation est alors interprétée comme une marque de contagion et une diminution comme la désignation du marché cible comme une place plus sûre durant la crise.

Laissons cela de côté, et calculons une série de statistiques descriptives pour avoir un aperçu de la situation à la fois sur la période pré-crise et pendant la crise. Limitons nous aux volatilités et aux corrélations.

tab<-dat %>% 
  group_by(avant) %>%
  summarise(vol_act=sd(ret_act),
            vol_bon=sd(ret_bon),
            taille=length(ret_act),
            cor=cor(ret_act,ret_bon)) %>%
  ungroup() %>%
  mutate(Periode=ifelse(avant==FALSE,"Crise","Non-crise"),.after=avant)

tab %>% 
  arrange(desc(avant)) %>%
  select(-avant) %>%
  gt() %>%
  tab_spanner(label = "Volatilité", columns = c(vol_act,vol_bon)) %>%
  fmt_number(columns = c(vol_act,vol_bon,cor),decimals = 5) %>%
  cols_label(vol_act="action",vol_bon="obligation",
             cor="corrélation",Periode="Période")

On constate que la volatilité des actions à presque doublée pendant la crise tandis que celle des obligations est restée (quasiment) stable. Par ailleurs, la corrélation entre les rendements des actifs est quasi nulle avant la crise et augmente fortement durant la crise (même si elle demeure très faible).

Notez que la corrélation est une mesure symétrique du lien (linéaire) entre deux variables. Elle ne dit donc rien sur celle qui influence potentiellement l’autre et a fortiori ici sur le sens de la contagion que l’on cherche à mesurer. Hors, nous avons besoin a minima de faire une hypothèse sur ce point pour établir la correction de notre test. Celle-ci est généralement tirée d’éléments empiriques et/ou de connaissances de terrain. Néanmoins, une position prudente à ce sujet consiste à retenir comme marché de départ celui qui a connu la plus grande augmentation de la volatilité et donc celui pour lequel les difficultés associées à l’hétéroscédasticité apparaissent les plus évidentes. Ici, nous retiendrons une contagion du marché actions vers le marché obligataire.

Le test de Forbes et Rigobon (2002) fonctionne de la même manière que le test de Pearson, qui mobilise une transformation de Fisher afin de permettre à sa statistique de suivre une loi normale standard malgré les limites du coefficient de corrélation (-1 et 1). La différence est que la corrélation mesurée sur la période de crise, \(\rho_y\) , est ajustée pour tenir compte du problème d’hétéroscédascité. On a alors:

\[ v_y= \frac{\rho_y}{\sqrt{1+\frac{\sigma_{yi}^2-\sigma_{xi}^2}{\sigma_{xi}^2}(1-\rho_y^2)}} \]

Le coefficient de corrélation classique est rapporté à la racine de un plus le produit du taux de croissance de la variance du marché à l’origine de la contagion (ici le marché action) et de 1 moins le coefficient de corrélation classique. Ce faisant, on opère une correction de la tendance qu’à l’importance volatilité du marché d’origine à augmenter le biais associé à l’hétéroscédasticité tout en modérant cette correction pour tenir compte du fait qu’une corrélation importante a moins de chance d’être trompeuse (biaisée) qu’une corrélation faible. Effectuons le calcul.

corr_adj<- tab$cor[1]/
  sqrt(1+(tab$vol_act[1]^2-tab$vol_act[2]^2)/tab$vol_act[2]^2*(1-tab$cor[1]^2))

corr_adj

## [1] 0.02316542

Le coefficient de corrélation ajusté est bien plus faible que le coefficient d’origine, 0,023 contre 0,044. Il est presque moitié plus petit.

C’est ce coefficient ajusté qui est mobilisé pour construire la statiques de test. Il subit comme celui à qui il est comparé une transformation de Fisher (\(\frac{1}{2}ln(\frac{1+\rho}{1-\rho})\)) ce qui lui permet de prendre une forme continue. On a alors:

\[ Z=\frac{\frac{1}{2}ln(\frac{1+v_y}{1-v_y})-\frac{1}{2}ln(\frac{1+\rho_x}{1-\rho_x})}{\sqrt{\frac{1}{n_y-3}+\frac{1}{n_x-3}}} \to N(0,1) \]La statistique obtenue, Z, suit alors sous \(H_0\) une loi normale standard. Cela nous donne notre test. On a ainsi:

Z<-(1/2*log((1+corr_adj)/(1-corr_adj))-1/2*log((1+tab$cor[2])/(1-tab$cor[2])))/
  sqrt(1/(tab$taille[1]-3)+1/(tab$taille[2]-3))

p_value<-(1-pnorm(Z))*2

data.frame(cor_pre=tab$cor[2],
           cor_crise=corr_adj,
           Z=Z, p_value=p_value) %>%
      gt() %>%
      tab_header(title ="Test de contagion sur la base de la corrélation",
             subtitle= "Forbes et Rigobon (2002)") %>% 
      tab_spanner(label = "Corrélations", columns = c(cor_pre,cor_crise)) %>%
      cols_label(cor_pre="pré-crise",cor_crise="crise")

Ici, avec une p-value de 0,86, il est impossible de rejeter \(H_0\). Il ne semble donc pas y avoir de différence entre la corrélation avant et après le déclenchement de la crise. Il ne nous est donc pas possible de conclure dans le sens d’une contagion des marchés actions vers les obligations suite à l’annonce de l’épidémie.

Le test de différence de coskewness

La contagion financière peut difficilement se résumer à la seule évolution de la corrélation des rendements entre marchés (le comoment d’ordre 2). En période de crise, l’attention des investisseurs peut se porter sur d’autres dimensions caractéristiques de la distribution jointe des rendements.

Il est, par exemple, facile de comprendre qu’en cas d’augmentation de l’incertitude (de la volatilité) sur un marché les investisseurs développent une préférence pour la skewness (Kraus and Litzenberger (1976)). Au-delà de l’évolution des rendement moyens, ils vont plus nettement chercher à posséder des titres qui connaissent plus fréquemment des hausses que des baisses et fuir ceux qui connaissent plus fréquemment des baisses que des hausses pendant la période de crise. De fait, ils vont plus nettement chercher à détenir des actifs à skewness positives (rendements asymétriques dans le positif; moyenne > médiane) et à sortir des actifs à skewness négatives (rendements asymétriques dans le négatif; médiane > moyenne).

Partant de là, il est possible de bâtir un test de contagion articulé autour du changement de la coskewness (asymétrie croisée) entre la période pré-crise et la crise. Nous nous intéressons ainsi au troisième moment de la jointe distribution des rendements. La coskewness peut être conceptualisée comme comme la manière dont fluctue la moyenne d’une variable i avec le carré d’une autre j et inversement. On a ainsi deux coskewness :

\[ \Psi_{(i,j)}=\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}\frac{r_{it}-\mu_i}{\sigma_i}\times\left(\frac{r_{jt}-\mu_j}{\sigma_j}\right)^2 \] \[ \Psi_{(j,i)}=\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}\left(\frac{r_{it}-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2\times\frac{r_{jt}-\mu_j}{\sigma_j} \]

La coskewness reflète le lien entre les rendements d’un marché et la volatilité de ceux d’un autre. Fry, Martin, and Tang (2010) propose un test de contagion reposant sur cette mesure.

Mais, avant d’aller plus loin à ce sujet, complétons nos statistiques descriptives en ajoutant les rendements moyens et les coskewness constatées entre les marchés (actions/obligations et obligations/actions) sur la période pré-crise ainsi que sur la période de crise.

Commençons par ajouter les statistiques plus simple à calculer (les rendements moyens) :

# calcul des rendements moyens
moy<-dat %>% 
  group_by(avant) %>%
  summarise(moy_act=mean(ret_act), moy_bon=mean(ret_bon))

# ajout des rendements moyens au tableau de base
tab_<-data.frame(tab,moy) %>% 
  select(avant:vol_bon,moy_act,moy_bon,everything(),-avant.1)

# mise en forme du tableau
tab_ %>% 
  arrange(desc(avant)) %>% 
  select(-avant) %>%
  gt() %>%
  tab_spanner(label = "Volatilité",columns = c(vol_act,vol_bon)) %>%
  fmt_number(columns = c(vol_act,vol_bon,cor),decimals = 5) %>%
  tab_spanner(label = "Moyenne",columns = c(moy_act,moy_bon)) %>%
  fmt_number(columns = c(moy_act,moy_bon,cor),decimals = 5) %>%
  cols_label(vol_act="action",vol_bon="obligation",
             moy_act="action",moy_bon="obligation",
             cor="corrélation",Periode="Période")

Ajoutons maintenant les coskewness. R base ne propose pas de fonction permettant de l’obtenir directement. Créons-en une.

Co_Skewness<-function(x_1,x_2){
                  moy_x1<-mean(x_1) 
                  moy_x2<-mean(x_2)
                  sd_x1<-sd(x_1)
                  sd_x2<-sd(x_2)
                  v_1<-(x_1-moy_x1)/sd_x1
                  v_2<-(x_2-moy_x2)/sd_x2 
                  co_s<-mean(v_1*v_2^2)
                  return(co_s)}

Appliquons-la à nos séries sur les deux périodes en considérons alternativement les deux sens possibles (i,j et j,i). Puis, ajoutons le résultat à notre tableau.

# calcul de la coskewness
co_sk<-dat %>%
  group_by(avant) %>%
  summarise( co_s12=Co_Skewness(ret_act,ret_bon),
             co_s21=Co_Skewness(ret_bon,ret_act))

# intégration au tableau
tab_sk<-data.frame(tab_,co_sk)

# mise en forme du tableau
tab_sk %>%
  arrange(desc(avant)) %>% 
  select(-avant,-avant.1) %>%
  gt() %>%
  tab_spanner(label = "Volatilité",columns = c(vol_act,vol_bon)) %>%
  fmt_number(columns = c(vol_act,vol_bon,cor),decimals = 5) %>%
  tab_spanner(label = "Moyenne",columns = c(moy_act,moy_bon)) %>%
  fmt_number(columns = c(moy_act,moy_bon),decimals = 5) %>%
  tab_spanner(label = "Co-Skewness",columns = c(co_s12,co_s21)) %>%
  fmt_number(columns = c(co_s12,co_s21),decimals = 5) %>%
  cols_label(vol_act="action",vol_bon="obligation", moy_act="action",
             moy_bon="obligation", cor="corrélation",Periode="Période",
             co_s12="actions/obligations",co_s21="obligations/actions")

On constate que les coskewness mesurées sur les deux périodes pour le lien actions/obligations sont toutes les deux négatives. Cela signifie que la variance des obligations est négativement associées avec les rendements des actions (et inversement). On note de même que, sur la période de crise, cette coskewness a fortement augmenté en valeur absolue (elle est encore plus négative).

Pour le lien obligations/actions les choses sont différentes. Sur les deux périodes, la coskewness est positive et stable. Autrement-dit, les rendements des obligations sont positivement associés à la variance des actions (et inversement) et cela ne semble pas changer pendant la crise. Cette relation est typique des liens entre actifs risqués et actifs moins risqués. Si la volatilité (variance) des rendements des actions augmente, alors les obligations sont plus désirées et donc leurs prix/rendements augmentent.

Reste à voir si ces différences sont statistiquement significatives (surtout la première actions/obligations). Dans ce cas, il y aurait un changement dans la structure de la distribution jointe des rendements des deux marchés caractérisant une forme de contagion.

Le test proposé par Fry et al (2010) se base sur le jeu d’hypothèses suivant: \(H0 : \Psi_x=\Psi_y\) (absence de contagion) contre \(H_1: \Psi_x \neq \Psi_y\) (présence de contagion). En l’absence de contagion, la coskewness des séries devrait rester inchangée entre la période pré-crises (\(x\)) et la période de crise (\(y\)). Tandis qu’en présence de contagion, on devrait voir évoluer la coskewness d’une période à l’autre.

La statistique du test se base sur la méthode du multiplicateur de Lagrange appliquée à la question de la différence de coskewness.

Encore une fois, le calcul est réalisé en tenant compte de la désignation du marché source de la contagion. Cela sera la base pour la calcul de la corrélation ajustée (la même que dans le test de Forbes et Rigobon, 2002) qui sera mobilisée sur la période de crise.

Sous \(H_0\), la statistique du test suit une loi du \(\chi^2\) à un degré de liberté.

\[ \left(\frac{\psi_y-\psi_x}{\sqrt{\frac{4v_y^2+2}{N_y}+\frac{4\rho_x^2+2}{N_x}}}\right)^2 \to \chi^2_{(1)} \]

Evidemment, le test est pratiqué pour les deux sens de coskewness (actions/obligations et obligations/actions). Procédons donc aux deux évaluations.

# calcul de la statistique
chi12<-((co_sk$co_s12[2]-co_sk$co_s12[1])/ 
          sqrt((4*corr_adj^2+2)/tab_$taille[2]+
                 (4*tab_$cor[1]^2+2)/tab_$taille[1]))^2

chi21<-((co_sk$co_s21[2]-co_sk$co_s21[1])/ 
          sqrt((4*corr_adj^2+2)/tab_$taille[2]+
                 (4*tab_$cor[1]^2+2)/tab_$taille[1]))^2

# assemblage et mise en forme du tableau
data.frame(cosk=c('action/obligation','obligation/action'),
           avant=c(tab_sk$co_s12[2],tab_sk$co_s21[1]),
           apres=c(tab_sk$co_s12[1],tab_sk$co_s21[2]),
           chi=c(chi12,chi21),
           p_value=c(1-pchisq(chi12,1),1-pchisq(chi21,1))) %>%
  gt() %>%
  tab_header(title ="Test de contagion sur la base de la co-skweness",
             subtitle= "Fry, Martin et Tang (2010)") %>%
  tab_spanner(label = "Co-Skweness",columns = c(avant,apres)) %>%
  cols_label(avant="pré-crise",apres="crise",
             cosk="sens",chi="Chi",p_value="p-value") %>%
  fmt_number(columns = -cosk,decimals = 5)

On constate que seule la variation de la coskewness entre les périodes pré-crise et de crise dans le sens actions/obligations est statistiquement significative. Mais, elle ne l’est qu’au seuil de 10%. On peut donc, avec les précautions d’usage, trancher en faveur d’une contagion. Celle-ci prend la forme d’une coskewness plus négative suite à la crise et donc d’une diminution des rendements des actions suite à l’augmentation de la variance des obligations (ou inversement).

Le test de différence de cokurtosis

Il s’agit ici de prolonger le raisonnement précédent en étendant l’étude de la relation entre les rendements de deux marchés à un comoment supérieur. Encore une fois, la stabilité du comoments (comme de la corrélation ou la coskewness) entre la période pré-crise et la période de crise marque l’absence de contagion. A contrario, la détection d’un changement marque une forme de contagion.

Le comoment considéré ici est la cokurtosis. Elle mesure la manière dont la moyenne d’une variable évolue en fonction de la skewness de l’autre (et inversement). On a donc deux mesures de cokurtosis selon le selon sens de contagion envisagé :

\[ \xi_{(i,j)}=\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{T}\frac{r_{it}-\mu_i}{\sigma_i}\times\left(\frac{r_{jt}-\mu_j}{\sigma_j}\right)^3 \]

\[ \xi_{(j,i)}=\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}\left(\frac{r_{it}-\mu_i}{\sigma_i}\right)^3\times\frac{r_{jt}-\mu_j}{\sigma_j} \]

Pour construire le test qu’ils proposent, Fry-McKibbin and Hsiao (2016) utilisent une version légèrement modifiée de ces mesures de manière à exclure des constats réalisés l’influence de la corrélation entre les séries. Ils soustraire à la cokurtosis classique \(-3\rho\). On a alors:

\[ \xi_{(i,j)}=\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{T}\frac{r_{it}-\mu_i}{\sigma_i}\times\left(\frac{r_{jt}-\mu_j}{\sigma_j}\right)^3-3\rho \]

\[ \xi_{(j,i)}=\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}\left(\frac{r_{it}-\mu_i}{\sigma_i}\right)^3\times\frac{r_{jt}-\mu_j}{\sigma_j}-3\rho \]

Encore une fois, R base ne propose pas de fonction dédiée à la mesure de la cokurtosis, et encore moins sous cette forme. Donc, avant d’aller plus loin, créons en une.

Co_Kurtosis<-function(x_1,x_2,corr){
                          moy_x1<-mean(x_1)
                          moy_x2<-mean(x_2)
                          sd_x1<-sd(x_1)
                          sd_x2<-sd(x_2)
                          v_1<-(x_1-moy_x1)/sd_x1
                          v_2<-(x_2-moy_x2)/sd_x2
                          co_k<-mean(v_1*v_2^3)-3*corr
                          return(co_k)}

Ceci fait, on peut établir le tableau des statistiques descriptives dans une version incluant les cokurtosis. Notez que pour la correction associée à la corrélation, nous retenons sur la période de crise la corrélation ajustée proposée par Forbes et Rigobon (2002).

# calcul de la cokurtosis
co_ku<-data.frame( 
  cokurt_13=c(Co_Kurtosis(dat$ret_act[dat$avant==FALSE],
                          dat$ret_bon[dat$avant==FALSE],corr_adj),
              Co_Kurtosis(dat$ret_act[dat$avant==TRUE],
                          dat$ret_bon[dat$avant==TRUE],tab_$cor[2])),
  cokurt_31=c(Co_Kurtosis(dat$ret_bon[dat$avant==FALSE],
                          dat$ret_act[dat$avant==FALSE],corr_adj),
              Co_Kurtosis(dat$ret_bon[dat$avant==TRUE],
                          dat$ret_act[dat$avant==TRUE],tab_$cor[2])))

# intégration au tableau
tab_ku<-data.frame(tab_,co_ku)

# mise en forme du tableau
tab_ku %>% 
  arrange(desc(avant)) %>%
  select(-avant) %>%
  gt() %>%
  tab_spanner(label = "Volatilité",columns = c(vol_act,vol_bon)) %>%
  fmt_number(columns = c(vol_act,vol_bon,cor),decimals = 5) %>%
  tab_spanner(label = "Moyenne",columns = c(moy_act,moy_bon)) %>% 
  fmt_number(columns = c(moy_act,moy_bon),decimals = 5) %>%
  tab_spanner(label = "Co-Kurtosis",columns = c(cokurt_13,cokurt_31)) %>%
  fmt_number(columns = c(cokurt_13,cokurt_31),decimals = 5) %>%
  cols_label(vol_act="action",vol_bon="obligation",
             moy_act="action",moy_bon="obligation",
             cor="corrélation",Periode="Période",
             cokurt_13="action/obligation",cokurt_31="obligation/action")

Les cokurtosis mesurées sont toutes négatives. Cela marque le fait que les rendements d’un marché diminue quand la skewness des rendements sur l’autre augmente (et inversement). On a pour le lien actions/obligations une mesure montrant que si la skewness des rendements des obligations devient plus fréquemment négative, alors les investisseurs se tournent vers les actions ce qui augmente leur rendement moyen. Pour le lien obligations/actions le phénomène est plus marqué encore. La mesure montre qui si la skewness des rendements des actions devient plus fréquemment négative, alors les investisseurs se tournent vers les obligations.

On a un déplacement des fonds du marché à skewness négative vers l’autre ce qui a tendance à augmenter ses rendements. Ce qui est le fruit de la préférence des investisseurs pour la skewness dans un contexte d’incertitude.

Sur la période de crise les mesures de cokurtosis restent négatives, mais diminue fortement en terme de valeur absolue. Encore faudrait-il savoir si ces différences sont statistiquement significatives. Si c’est le cas, elle serait l’effet d’une contagion d’un marché vers l’autre. Le jeu d’hypothèses évalué est alors \(H_0: \xi_x=\xi_y\) (absence de contagion) contre \(H_1: \xi_x \neq \xi_y\) (présence de contagion).

Comme le fait Fry et al. (2010) pour la coskewness, Fry-McKibbin and Hsiao (2016) construisent leur test autour du multiplicateur de Lagrange. Après adaptation (expansion polynomiale de la fonction de Lagrange), ils proposent la statistique suivante qui sous \(H_0\) suit une loi du \(\chi^2\) à un degré de liberté.

\[ \left(\frac{\xi_y-\xi_x}{\sqrt{\frac{18v_y^2+6}{N_y}+\frac{18\rho_x^2+6}{N_x}}}\right)^2 \to \chi^2_{(1)} \]

Evidemment, le test est pratiqué pour les deux sens de la cokurtosis (actions/obligations et obligations/actions). Procédons donc aux deux évaluations.

# calcul de la statistique
chi13<-((co_ku$cokurt_13[2]-co_ku$cokurt_13[1])/
          sqrt((18*corr_adj^2+6)/tab_$taille[2]+
                 (18*tab_$cor[1]^2+6)/tab_$taille[1]))^2

chi31<-((co_ku$cokurt_31[2]-co_ku$cokurt_31[1])/
          sqrt((18*corr_adj^2+6)/tab_$taille[2]+
                 (18*tab_$cor[1]^2+6)/tab_$taille[1]))^2

# assemblage et mise en forme du tableau
data.frame(cosk=c('actions/obligations','obligations/actions'),
           avant=c(tab_ku$cokurt_13[2],tab_ku$cokurt_31[2]),
           apres=c(tab_ku$cokurt_13[1],tab_ku$cokurt_31[1]),
           chi=c(chi13,chi31),
           p_value=c(1-pchisq(chi13,1),1-pchisq(chi31,1))) %>%
  gt() %>%
  tab_header(title ="Test de contagion sur la base de la co-kurtosis",
             subtitle= "Fry-McKibbin et Hsiao (2018)") %>%
  tab_spanner(label = "Co-Kurtosis", columns = c(avant,apres)) %>%
  cols_label(avant="pré-crise", apres="crise", 
             cosk="sens", chi="Chi", p_value="p-value") %>%
  fmt_number(columns = -cosk, decimals = 5)

La différence de cokurtosis entre la période pré-crise et la crise n’est pas statistiquement significative concernant la relation actions/obligations, mais l’est fortement dans le sens obligations/actions.

La relation entre la skweness des actions et les rendements obligataires a clairement été affectée par la crise.

La propension des investisseurs à acheter des obligations si la skewness des marchés actions devient négative, et à vendre les obligation si la skewness des marchés actions devient positive, a diminué pendant la crise.

Le test de différence de covolatitilité

Fry-Mc Kibbin et Hsiao (2016) proposent en plus du test de contagion basé de la cokurtosis un second test. Celui-ci prolonge l’analyse des moments supérieures de la distribution jointe rendement des marchés associés en considérant cette fois la covolatilité (le moment d’ordre 4). Cette mesure lie la volatilité d’un marché avec la volatilité de l’autre. Contrairement à la coskewness et la cokurtosis, c’est une mesure symétrique. Il n’y a donc qu’une covolatilité comme il n’y a qu’une corrélation. Celle-ci mesure classiquement comme suit:

\[ \zeta(i,j)=\frac{1}{N}\sum^N_{t=1}\left(\frac{r_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2\times\left(\frac{r_j-\mu_j}{\sigma_j}\right)^2 \]

Cependant, dans le cadre du test, Fry-Mc Kibbin et Hsiao (2016) en utilisent une version modifiée afin d’expurger la mesure de l’influence de la corrélation entre les séries sur la mesure, comme il l’on fait pour la cokurtosis. On a alors:

\[ \zeta(i,j)=\frac{1}{N}\sum^N_{t=1}\left(\frac{r_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2\times\left(\frac{r_j-\mu_j}{\sigma_j}\right)^2-(1+2\rho^2) \]

Encore une fois, R base ne propose pas de fonction dédiée à la mesure de la covolatilité, et encore moins sous cette forme. Donc, avant d’aller plus loin, créons en une.

Co_volatilite<-function(x_1,x_2,corr){
                              moy_x1<-mean(x_1)
                              moy_x2<-mean(x_2)
                              sd_x1<-sd(x_1)
                              sd_x2<-sd(x_2)
                              v_1<-(x_1-moy_x1)/sd_x1
                              v_2<-(x_2-moy_x2)/sd_x2
                              co_vol<-mean(v_1^2*v_2^2)-(1+2*corr^2) 
                              return(co_vol)}

Ceci étant fait, on peut établir le tableau des statistiques descriptives dans une version incluant les covolatilité pour la période pré-crise et la période de crise. Notez que pour la correction associée à la corrélation, nous retenons sur la période de crise la corrélation ajustée proposée par Forbes et Rigobon (2002) comme nous l’avons fait pour la cokurtosis.

# calcul de la covolatilité
co_vol<-data.frame( 
  covol_a_o=c(Co_volatilite(dat$ret_act[dat$avant==FALSE],
                            dat$ret_bon[dat$avant==FALSE],corr_adj),
              Co_volatilite(dat$ret_act[dat$avant==TRUE],
                            dat$ret_bon[dat$avant==TRUE],tab_$cor[2])))

# intégration au tableau
tab_vol<-data.frame(tab_,co_vol)

# mise en forme du tableau
tab_vol %>% 
  arrange(desc(avant)) %>%
  select(-avant) %>%
  gt() %>%
  tab_spanner(label = "Volatilité",columns = c(vol_act,vol_bon)) %>%
  fmt_number(columns = c(vol_act,vol_bon,cor),decimals = 5) %>% 
  tab_spanner(label = "Moyenne",columns = c(moy_act,moy_bon)) %>% 
  fmt_number(columns = c(moy_act,moy_bon),decimals = 5) %>%
  tab_spanner(label = "Co-Volatilité",columns = c(covol_a_o)) %>%
  fmt_number(columns = c(covol_a_o),decimals = 5) %>%
  cols_label(vol_act="action",vol_bon="obligation",
             moy_act="action",moy_bon="obligation",
             cor="corrélation",Periode="Période", 
             covol_a_o="action-obligation")

Sur la période pré-crise, la covolatilité entre les marchés action et obligataire est de 2,19. Cela marque le fait que, lorsque la volatilité sur le marché des actions augmente, elle augmente aussi sur le marché obligataire (et vice-versa). Sur la période de crise, cette covolatilité chute très clairement. Elle passe à 0,68. Elle reste positive, et donc le lien des volatilités sur les marchés reste qualitativement le même, mais perd en intensité.

Ce changement va dans le sens d’une potentielle contagion. Reste à savoir si la différence relevée est statistiquement significative. Le jeu d’hypothèses évalué est \(H_0: \zeta_x=\zeta_y\) (pas de contagion) contre\(H_1: \zeta_x \neq \zeta_y\) (présence de contagion).

La statistique du test de différence de covolatilité est construit de la même manière que les deux précédentes (coskewness et cokurtosis). Elle repose sur un test du multiplicateur de Lagrange. Après adaptation (expansion polynomiale de la fonction de Lagrange), ils proposent la statistique suivante qui sous \(H_0\) suit une loi du \(\chi^2\) à un degré de liberté.

\[ \left(\frac{\zeta_y-\zeta_x}{\sqrt{\frac{4v_y^4+16v_y^2+4}{N_y}+\frac{4\rho_x^4+16\rho_x^2+4}{N_x}}}\right)^2\to \chi^2_{(1)} \]

Ceci étant établi, procédons au test.

# calcul de la statistique
chivol<-((co_vol$covol_a_o[2]-co_vol$covol_a_o[1])/
           sqrt((4*corr_adj^4+16*corr_adj^2+4)/tab_$taille[2]+
               (4*tab_$cor[1]^4+16*tab_$cor[1]^2+4)/tab_$taille[1]))^2

# assemblage et mise en forme du tableau
data.frame(cosk='action-obligation', 
           avant=tab_vol$covol_a_o[2],
           apres=tab_vol$covol_a_o[1],
           chi=chivol, p_value=1-pchisq(chivol,1)) %>%
  gt() %>% 
  tab_header(title ="Test de contagion sur la base de la co-volatilité",
             subtitle= "Fry-McKibbin et Hsiao (2018)") %>%
  tab_spanner(label = "Co-Volatilité",columns = c(avant,apres)) %>%
  cols_label(avant="pré-crise",apres="crise",
             cosk="",chi="Chi",p_value="p-value") %>%
  fmt_number(columns = -cosk,decimals = 5)

Le test rejette très nettement \(H_0\). Il confirme donc l’existence d’une différence de covolatilité sur les marché action et obligation entre la période pré-crise et la période de crise. Cela peut être interprété comme un indice d’une forme de contagion.